二項分布の例題集（1）

レベル1

サイコロを3回投げたとき、2以下の目が出る回数を X とします。確率変数 X の分布を求めて下さい。（今野紀雄『マンガでわかる統計入門』ソフトバンククリエイティブ, 2009年, pp.130-pp.131）

Xのとりうる値は 0, 1, 2, 3です。

次に、2以下の目が出る確率を求めます。2以下の目が「1」「2」に2通りなので、2以下の目が出る確率は 1/3（←2/6を通分）になります。

X は二項分布 $\displaystyle B(3,\frac{1}{3})$ に従うので、次のようになります。

（補足）セル【B2】には =1/3（または =2/6）、セル【B5】には =BINOMDIST(A5,$B$1,$B$2,0)（または =BINOMDIST(A5,3,1/3,0)）が入っています。

レベル2

4枚の硬貨を同時に投げる試行を4回繰り返す時、2枚が表で2枚が裏となる回数 X の確率分布を求めよ。

X のとりうる値は 0, 1, 2, 3, 4 で、4枚の硬貨を投げて2枚とも表が出る確率は、

$\displaystyle _4 \mathrm{C} _2 (\frac{1}{2})^{2} (\frac{1}{2})^{2} = \frac{3}{8} = 0.375$
（表計算ソフトでは）=COMBIN(4,2)*0.5^2*0.5^2

よって、Xの確率分布は次のようになる。

（補足）丁寧に手書きで書けば次のようになります。

X のとりうる値は 0, 1, 2, 3, 4 で、4枚の硬貨を投げて2枚とも表が出る確率は、

$\displaystyle _4 \mathrm{C} _2 (\frac{1}{2})^{2} (\frac{1}{2})^{2} = \frac{3}{8}$

よって、X = kとなる確率 P(X = k)は

$\displaystyle _4 \mathrm{C} _k (\frac{3}{8})^{k} (\frac{5}{8})^{4-k}$

よって、Xは二項分布 $\displaystyle B(4,\frac{3}{8})$ に従う。

X = 0 の確率は $\displaystyle _4 \mathrm{C} _0 (\frac{3}{8})^{0} (\frac{5}{8})^{4} = \frac{625}{4096}$

X = 1 の確率は $\displaystyle _4 \mathrm{C} _1 (\frac{3}{8})^{1} (\frac{5}{8})^{3} = \frac{375}{1024}$

X = 2 の確率は $\displaystyle _4 \mathrm{C} _2 (\frac{3}{8})^{2} (\frac{5}{8})^{2} = \frac{675}{2048}$

X = 3 の確率は $\displaystyle _4 \mathrm{C} _3 (\frac{3}{8})^{3} (\frac{5}{8})^{1} = \frac{135}{1024}$

X = 4 の確率は $\displaystyle _4 \mathrm{C} _4 (\frac{3}{8})^{4} (\frac{5}{8})^{0} = \frac{81}{4096}$

したがって、X の確率分布は次のようになる。

X	0	1	2	3	4
P	625/4096	375/1024	675/2048	135/1024	81/4096

1つのサイコロを10回振るとき、1の目が出る回数を表す確率変数を X とする。
（1）X = k (0 ≦ k ≦ 10) となる確率 P (X = k) を求めなさい。
（2）X の期待値を求めなさい。
（3）X の標準偏差を求めなさい

（1）独立試行の定理により

$\displaystyle P(X=k)= _{10}\mathrm{C} _k (\frac{1}{6})^{k} (\frac{1}{6})^{10-k}$ 　(k は 0 ≦ k ≦ 10 を満たす整数）

（2）（1）から、Xは二項分布 $\displaystyle B(10,\frac{1}{6})$ に従う。

よって、求める期待値 E(X) は

$\displaystyle E(X)=10 \times \frac{1}{6} = \frac{5}{3}$

（3）工事中

どの目の出る確率も等しい1個のサイコロを繰り返して18回振るとき、1の目の出る回数 X の期待値と標準偏差を求めなさい。（皆川多喜造『確率・統計』数研出版, p.138改）

（工事中）

50歳の夫と48歳の妻が20年後まで生存する確率は、夫が 0.2、妻が 0.25 である。現在、夫が50歳、妻が48歳である10組の夫婦のうち、20年後に夫婦の少なくとも一方が生存している組の数を X とする。X が二項分布にしたがう確率変数であるとして、X の平均値、標準偏差を求めよ。（皆川多喜造『確率・統計』数研出版, p.148）

20年後に夫婦の少なくとも一方が生存する確率は、余事象を考えて、その確率を p とすると、

$p=1-(1-0.2)(1-0.25)=0.4$

平均値 m については $np=10 \times 0.4 =4$ で求めても構わない。

標準偏差 σ については $\displaystyle \sqrt{npq} = \sqrt{10 \times 0.4 \times 0.6} = \sqrt{2.4} \fallingdotseq 1.55$ で求めてもOK。

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