平方根を含む式の計算

キーワード：平方根、無理数、有理化

キーワードにも書いた無理数とは次のような数のことをいう。

無理数＝分数で表現できない数＝循環しない無限小数

2乗して $a(a>0)$ となる正の数を $\sqrt{a}$ で表す。また $\sqrt{0}=0$

公式 $a>0, b>0, k>0$ のとき

$\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$　$\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$　$k\sqrt{a}=\sqrt{k^{2}a}$

上の式のソース

$\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$
$\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$
$k\sqrt{a}=\sqrt{k^{2}a}$

次の式を簡単にせよ。

$\sqrt{a^{2}b^{2}}$ $(a>0, b<0)$

（解答）

$a>0, b<0$ のとき、$a^{2}>0, b^{2}>0$ であるから
$\sqrt{a^{2}b^{2}}=\sqrt{a^{2}}\sqrt{b^{2}}=a\cdot(-b)=-ab$

（ポイント）平方根を含む式の計算

まず平方因数は根号の外へ

$\displaystyle \sqrt{\ \ }$は文字と同様に計算し$\sqrt{a^{2}}=a$ とする

有理化→ $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$ に注目

分母の有理化 $\sqrt{p}+\sqrt{q}$ と $\sqrt{p}-\sqrt{q}$ が兄弟分